Ich halte einen Getriebedefekt für weniger wahrscheinlich.
Wenn sich die Gänge bei stehendem Motor einlegen lassen, nicht aber bei laufendem Motor und getretener Kupplung, so hört sich das eher nach einem Kupplungsdefekt an. Ein Defekt derart, dass die Kupplung nicht oder nicht richtig trennt.
Einfacher Test: Bei stehendem Motor einen Gang einlegen, am besten den ersten oder den zweiten. Bei ganz getretener Kupplung muss sich das Auto dann schieben lassen. Zwar etwas schwerer als bei eingelegtem Leerlauf, aber immerhin schieben lassen. Lässt es sich dann nicht schieben, trennt die Kupplung nicht.
Weiterhin muss sich der Motor bei eingelegtem Gang und getretener Kupplung starten lassen, ohne dass das Auto einen Hopser macht. Ist dem nicht so, trennt die Kupplung nicht.