Die Lösung kann einfach sein: Die Batterie hat nicht genug Ladung.
Das erklärt das "Klack" des Anlassers. Zwar misst du 12V an der Batterie, aber ohne Last.

Mit dem Lichtmaschinenregler hat das nichts zu tun. Der ist von dem gezeigten Mängelbild nicht betroffen.

Das eine Spannungsmessung an der Batterie dafür sorgt, dass die Zündung wieder funktioniert ist entweder Täuschung - oder ein Fall für "X-Faktor".

Lösung: Batterie raus, an's Ladegerät hängen, laden. Sodann wieder einbauen - fertig.